Illustration avec un exemple concret


On définit tout d'abord un signal composé de 2 périodes:

  • de t = 0 à 0.5 s → une amplitude de 0.75 et une fréquence f1 de 16 Hz
  • de t = 0.5 à 1 s → une amplitude de 1 et une fréquence f2 de 32 Hz



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Code - Signal

Chaque période correspond à un milieu de rigidité différente.
En effet, la fréquence est liée à la longueur d'onde:

  • λ = c/f

Et la longueur d'onde est proportionnelle à l'élasticité.
Donc, la rigidité (en kPa) du premier milieu est plus élevée que celle du deuxième. (en effet f1 < f2)

Lorsqu'on applique une transformée de Fourier à notre signal, on obtient son spectre sur lequel on peut repérer 2 pics correspondant à nos 2 fréquences (16 et 32 Hz).


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Code - Spectre

On définit ensuite 2 filtres log-normaux en respectant les hypothèses citées précédemment.


(Cliquer pour agrandir) - (en bleu Ri, en vert Rj, en rouge le rapport sqrt(ki*kj)*(Rj/Ri) )

Code - Filtres

On peut ensuite appliquer ces filtres à notre signal dans le domaine de Fourier:


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Code - Sorties filtrées

On obtient 2 sorties filtrées Si et Sj.
On leur applique une transformée de Fourier inverse afin de repasser dans le domaine réel:


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Code - Transformée Fourier Inverse

Et on utilise finalement la formule permettant l'estimation de la fréquence spatiale locale k


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Code - Fréquence spatiale locale

On peut constater que k est plus élevée dans le second milieu que dans le premier.
Or, la longueur d'onde est inversement proportionnelle à k.
On en déduit donc que l'élasticité est plus importante dans le premier milieu.
on retrouve donc ce que l'on avait supposé, ainsi que les fréquences fixées au départ.

On peut donner un graphique donnant la valeur du module de cisaillement G (représentant l'élasticité du milieu) d'après son expression fonction de λ comme vu précédemment sur notre Page d'accueil :


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Code - Elasticité

On est alors capable d'obtenir l'élastogramme:

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Code - Elastogramme

L'élastogramme nous donne de façon très visuelle le résultat obtenu plus tôt :
Un premier milieu (à gauche) de rigidité plus importante que le second (à droite).

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